Some questions in fuzzy metric spaces

The George and Veeramani's fuzzy metric defined by $M^*(x,y,t)=\frac{min\{x,y\}+t}{max\{x,y\}+t}$ on $[0,\infty[$ (the set of non-negative real numbers) has shown some advantages in front of classical metrics in the process of filtering images. In this paper we study from the mathematical point of view this fuzzy metric and other fuzzy metrics related to it. As a consequence of this study we introduce, throughout the paper, some questions relative to fuzzy metrics. Also, as another practical application, we show that this fuzzy metric is useful for measuring perceptual colour differences between colour samples.The authors wish to thank both the associated editors coordinating this submission and the reviewers for their insightful suggestions and comments which have been useful to increase the scientific quality and presentation of the paper. Also, the authors thank Dr. M. Melgosa, Dr. R. Huertas and Dr. L. Gomez-Robledo from the Department of Optics of University of Granada, for providing data, information and invaluable comments and suggestions. Valentin Gregori and Samuel Morillas acknowledge the support of Spanish Ministry of Education and Science under Grant MTM 2009-12872-C02-01. Samuel Morillas acknowledges the support of Research Project FIS2010-19839, Ministerio de Educacion y Ciencia (Espana) with European Regional Development Funds (ERDFs).Gregori Gregori, V.; Miñana Prats, JJ.; Morillas Gómez, S. (2012). Some questions in fuzzy metric spaces. Fuzzy Sets and Systems. 204:71-85. https://doi.org/10.1016/j.fss.2011.12.008718520

On aggregation and transformation of generalized metrics and its applications

[cat] En molts problemes, que apareixen de forma natural en diferents camps de la ciència, la noció de mètrica juga un paper fonamental. En ells, les mètriques s'utilitzen habitualment per a mesurar la dissimilitud entre objectes o punts. Tot i això, en alguns casos el concepte de mètrica es massa restrictiu, fet que ha motivat la introducció de diferents generalitzacions del concepte mètrica, entre els quals s'inclouen les quasi-mètriques o les mètriques parcials. Per altra banda, hi ha alguns problemes que involucren en la seva pròpia naturalesa una certa incertesa. En aquests casos, la teoria Fuzzy és més adequada per al tractament del problema. Tal fet ha propiciat l'aparició d'algunes adaptacions al context Fuzzy de la noció de mètrica i de l'estudi d'aquestes. Entre altres, podem trobar les nocions d'operador d'indistinguibilitat o del de mètrica difusa. Un tema d'interès, relacionat amb les diverses generalitzacions de les mètriques i de les seves adaptacions al context Fuzzy, consisteix en l'estudi d'aquelles funcions que transformen una família de mètriques generalitzades, o una tota sola, en una nova mètrica generalitzada. En aquesta tesi s'abordaran alguns temes relacionats amb aquest tipus de funcions. Per altra banda, es proporcionen algunes aplicacions relacionades amb alguns dels resultats teòrics obtinguts en la tesi. A continuació es detallen les aportacions principals: Donem una nova caracterització d'aquelles funcions que transformen qualsevol mètrica parcial en una nova mètrica parcial. A més, s'estudia les condicions que han de complir aquestes funcions per tal de conservar algunes propietats topològiques. Es caracteritzen les funcions que agreguen quasi-mètriques, és a dir, aquelles funcions que transformen qualsevol família de quasi-mètriques definides sobre un mateix conjunt X en una nova quasi-mètrica definitiva també sobre X. Per un altre costat, es demostren algunes propietats de dites funcions i s'argumenten dos possibles camps d'aplicació dels resultats obtinguts. Demostrem una caracterització d'aquelles funcions que generen una mètrica parcial a partir d'una quasi-mètrica, i viceversa. A més, estudiem les propietats que han de complir dites funcions per tal de preservar l'ordre parcial i la topologia induïts, tant per una mètrica parcial com per una quasi-mètrica. Es caracteritzen les funcions que agreguen una quasi-mètrica i mètrica parcial per tal d'obtenir una nova mètrica generalitzada. Aquesta caracterització demostra que la mètrica generalitzada que s'obté coincideix amb una quasi-mètrica parcial. El resultat obtingut permet desenvolupar un marc general per a l'estudi simultani de la semàntica de llenguatges i l'anàlisi de la complexitat algorítmica. Es proporcionen dues formes diferents de construir una mètrica difusa a partir d'una de clàssica. Una d'elles per mitjà de les funcions que preserven mètriques i l'altra a partir de generadors additius. A més, es demostren algunes propietats de les mètriques difuses obtingudes. Per altra banda, es proporciona un mètode per a construir una mètrica clàssica a partir d'una mètrica difusa. Establim una relació de dualitat entre mètriques difuses i mètriques modulars, una generalització de mètrica que inclou en la seva definició un paràmetre. Aquesta relació motiva la introducció d'un nou concepte que generalitza tant els operadors d'indistinguibilitat com les mètriques difuses. Per últim, s'estableix una base teòrica per generar funcions de resposta en el problema d'assignació de tasques en sistemes Multi-robot. Aquesta es basa en l'ús d'operadors d'indistinguibilitat i de preordres difusos.[spa] En muchos problemas, que aparecen de forma natural en diferentes campos de la ciencia, la noción de métrica juega un papel esencial. En ellos, dicha noción se utiliza habitualmente para medir la disimilitud entre puntos u objetos. Sin embargo, en algunos casos la definición de métrica es demasiado restrictiva. Esto ha motivado la introducción de diferentes generalizaciones del concepto de métrica, entre los cuales se incluyen las casi-métricas y las métricas parciales. En cambio, algunos problemas involucran en su propia naturaleza cierta incertidumbre. En dichos casos, la teoría Fuzzy es más apropiada para el tratamiento del problema. Este hecho ha promovido algunas adaptaciones al contexto Fuzzy de la noción de métrica y el estudio de estas. Entre otras, podemos encontrar las nociones de operador de indistinguibilidad o el de métrica difusa. Un tema de interés, relacionado con las generalizaciones de métrica y sus adaptaciones al entorno Fuzzy, es el estudio de aquellas funciones que transforman una familia de métricas generalizadas, o una sola, en una nueva métrica generalizada. En esta tesis abordamos algunos tópicos relacionados con dichas funciones. Además, proporcionamos algunas aplicaciones relacionadas con algunos de los resultados teóricos obtenidos en la tesis. A continuación se detallan las principales aportaciones: Damos una nueva caracterización de aquellas funciones que transforman cualquier métrica parcial en una nueva métrica parcial. Además, se estudia qué condiciones deben cumplir dichas funciones para preservar algunas propiedades topológicas. Caracterizamos las funciones que agregan casi-métricas, que son aquellas funciones que transforman cualquier familia de casi-métricas definidas sobre un mismo conjunto X en una nueva casi-métrica definida sobre X. Por otro lado, se demuestran algunas propiedades de dichas funciones y se presentan, de modo argumentado, dos posibles campos de aplicación de los resultados obtenidos. Se demuestra una caracterización de aquellas funciones que generan una métrica parcial a partir de una casi-métrica, y viceversa. Además se estudia qué propiedades deben cumplir dichas funciones para preservar el orden parcial y la topología inducida, tanto por una métrica parcial como por una casi-métrica. Se caracterizan las funciones que agregan una casi-métrica y una métrica parcial con el fin de obtener una nueva métrica generalizada. En dicha caracterización se demuestra que la métrica generalizada obtenida es una casi-métrica parcial. El resultado obtenido permite desarrollar un marco general para el estudio simultáneo de la semántica de lenguajes y el análisis de complejidad algorítmica. Se proporcionan dos formas diferentes de construir una métrica difusa a partir de una clásica. Una de ellas mediante funciones que preservan métricas y la otra por medio de generadores aditivos. Se demuestran algunas propiedades de las métricas difusas obtenidas. Además, proporcionamos un método para construir una métrica clásica a partir de una métrica difusa. Establecemos una relación de dualidad entre métricas difusas y métricas modulares, una generalización de métrica que incluye en su definición un parámetro. Dicha relación motiva la introducción de un nuevo concepto que generaliza tanto a los operadores de indistinguibilidad como a las métricas difusas. Por último, establecemos una base teórica para generar funciones de res\-puesta en el problema de asignación de tareas en sistemas Multi-robot. Este se basa en el uso de operadores de indistinguibilidad y preordenes difusos.[eng] In many problems of different fields of Science, the notion of metric plays an essential role. Such a notion is commonly used to measure the dissimilarity between points or objects. However, the definition of metric is too restrictive in some problems. It has motivated the introduction of different kind of generalizations of the concept of metric, in which quasi-metrics and partial metrics are included. Moreover, some problems involve in its nature some uncertainty. In such cases, the Fuzzy theory is more appropriate for the treatment of the problem. This fact has promoted some adaptations to the fuzzy context of the notion of metric and their study. Among others, we can find the notions of indistinguishability operator or fuzzy metric. A topic of interest, related to the generalizations of metric and the adaptation of metric to the fuzzy setting, is the study of those functions that transform a family of generalized metrics, or a single one, into a new generalized metric. In this dissertation we tackle some items related with the aforesaid functions. In addition, we provide some applications related with some of the theoretical results obtained. The main contributions of this dissertation are summarized below: We prove a new characterization of those functions that transform each partial metric into a new one partial metric. In addition, conditions to preserve some topological properties by the aforementioned functions are studied. We characterize quasi-metric aggregation functions, which are those functions that transform a family of quasi-metrics defined on the same set $X$ into a new quasimetric defined on $X$. Moreover, some properties of such functions are proved and two possible fields of application of the obtained results are presented. A characterization of those functions that generate a partial metric from a quasimetric, and vice-versa, are proved Besides, the preservation by means of such functions of the partial order and the topology induced by a quasi-metric or a partial metric are studied. Functions that merge a quasi-metric and a partial one into a new generalized metric are characterized. In such a characterization it is shown that the generalized metric obtained is a partial quasi-metric. The result obtained allows us to develop a general framework to study, at the same time, denotational semantics and complexity analysis of algorithms. Two different ways to construct a fuzzy metric from a classical one are provided. One of them by means of metric preserving functions and the other one using additive generators. Some properties of the fuzzy metrics obtained are proved. Furthermore, we give a method to construct a classical metric from a fuzzy one. We establish a duality relationship between fuzzy metrics and modular metrics, a generalization of metric that include in its definition a parameter. Such a relationship motivates the introduction of a new concept that generalizes both indistinguishability operators and fuzzy metrics. We establish a theoretical foundation to generate response functions for Multirobot task allocation problem. It is based on the use of indistinguishability operators and fuzzy preorders

Fuzzy metric spaces and applications to perceptual colour-differences

Tesis por compendio[EN] Fuzzy mathematics has constituted a wide field of research, since L. A. Zadeh introduced in 1965 the concept of fuzzy set. In particular, the problem of constructing a satisfactory theory of fuzzy metric spaces has been investigated by several authors. In 1994, George and Veeramani introduced and studied a notion of fuzzy metric space that constituted a modification of the one given by Kramosil and Michalek. Several authors have contributed to the study of this kind of fuzzy metrics, from the mathematical point of view and for their applications. In this thesis we have contributed to develop the study of these fuzzy metrics, from the mathematical point of view, and we approached the problem of measuring perceptual colour-difference between samples of colour using one of these fuzzy metrics. The contributions of the study carried out in this thesis is summarized as follows: \begin{enumerate} \item[(i)] We have made a detailed study of the fuzzy metric space $(X,M,\cdot)$ where $M$ is given on $X=[0,\infty[$ by $M(x,y,t)=\frac{\min\{x,y\}+t}{\max\{x,y\}+t}$ and others related to it. As a consequence we have introduced five questions in fuzzy metrics related to continuity, extension, contractivity and completion. \item[(ii)] We have answered an open question constructing a fuzzy metric space $(X,M,\ast)$ in which the assignment $f(t)=\lim_n M(a_n,b_n,t)$, where $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ are $M$-Cauchy sequences in $X$, is not a continuous function on $t$. The response to this question has allowed us to characterize the class of completable strong fuzzy metric spaces. \item[(iii)] We have introduced and studied a stronger concept than convergence of sequences in fuzzy metric spaces, which we call $s$-convergence. In our study, we have gotten a characterization of those spaces in which every convergent sequence is $s$-convergent and we have given a classification of fuzzy metrics attending to the behaviour of the fuzzy metric with respect to the different types of convergence. \item[(iv)] We have studied, in the context of fuzzy metric spaces, when certain families of open balls centered at a point are local bases for this point. \item[(v)] We have answered two open questions related to standard convergence, a stronger concept than convergence of sequences in fuzzy metric spaces, introduced in a natural way attending to the concept of standard Cauchy sequence (introduced in \cite{adomain}). These responses have led us to establish conditions under which Cauchyness and convergence should be considered \textit{compatible}. \item[(vi)] As a practical application, we have shown that a certain fuzzy metric is useful for measuring perceptual colour-differences between colour samples. \end{enumerate}[ES] La matemática fuzzy ha constituido un amplio campo en la investigación, desde que en 1965 L. A. Zadeh introdujo el concepto de conjunto fuzzy. En particular, la construcción de una teoría satisfactoria de espacios métricos fuzzy ha sido un problema investigado por muchos autores. En 1994, George y Veeramani introdujeron y estudiaron una noción de espacio métrico fuzzy que constituía una modificación de la anteriormente dada por Kramosil y Michalek. Muchos autores han contribuido al estudio de este tipo de métricas fuzzy, desde el punto de vista matemático y de sus aplicaciones. En esta tesis hemos contribuido al desarrollo del estudio de estas métricas fuzzy, desde el punto de vista matemático, y hemos abordado el problema de la medida de la diferencia perceptual de color utilizando una de estas métricas. Las contribuciones que aportamos en esta tesis a dicho estudio, se resumen a continuación: \begin{enumerate} \item[(i)] Hemos hecho un estudio detallado del espacio métrico fuzzy $(X,M,\cdot)$ donde $M$ está dada sobre $[0,\infty[$ por la expresión $M(x,y,t)=\frac{\min\{x,y\}+t}{\max\{x,y\}+t}$ y de otros espacios métricos fuzzy relacionados con el. Como consecuencia de este estudio hemos introducido cinco cuestiones en la teoría de las métricas fuzzy relacionadas con continuidad, extensión, contractividad y completación. \item[(ii)] Hemos respondido a una cuestión abierta construyendo un espacio métrico fuzzy $(X,M,\ast)$ en el cual la asignación $f(t)=\lim_n M(a_n,b_n,t)$, donde $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones $M$-Cauchy, no es una función continua sobre $t$. La respuesta a esta cuestión nos ha permitido caracterizar la clase de los espacios métricos fuzzy strong completables. \item[(iii)] Hemos introducido y estudiado un concepto más fuerte que el de convergencia de sucesiones en espacios métricos fuzzy, al que hemos llamado $s$-convergencia. En nuestro estudio hemos conseguido una caracterización de aquellos espacios métricos fuzzy en los cuales toda sucesión convergente es $s$-convergente y hemos dado una clasificación de los espacios métricos fuzzy atendiendo a su comportamiento con respecto a los diferentes tipos de convergencia que se da en él. \item[(iv)] Hemos estudiado, en el contexto de los espacios métricos fuzzy, cuando ciertas familias de bolas abiertas centradas en un punto son base local de este punto. \item[(v)] Hemos respondido a dos cuestiones abiertas relacionadas con la convergencia standard, un concepto más fuerte que el de convergencia de sucesiones en espacios métricos fuzzy, introducido de forma natural a partir del concepto de sucesión de Cauchy standard (introducido en \cite{adomain}). Estas respuestas nos han llevado a establecer unas condiciones bajo las cuales un concepto relacionado con el concepto de sucesión de Cauchy y un concepto relacionado con el de convergencia deberían satisfacer para ser consideradas \textsl{compatibles}. \item[(vi)] Como aplicación práctica, hemos mostrado que una cierta métrica fuzzy es útil para medir diferencia perceptual de color entre muestras de color. \end{enumerate}[CA] La matemàtica fuzzy ha constituït un ampli camp en la investigació, des que el 1965 L. A. Zadeh va introduir el concepte de conjunt fuzzy. En particular, la construcció d'una teoria satisfactòria d'espais mètrics fuzzy ha estat un problema investigat per molts autors. El 1994, George i Veeramani introduiren i estudiaren una noció d'espai mètric fuzzy que constituïa una modificació de la donada per Kramosil i Michalek anteriorment. Molts autors han contribuït a l'estudi d'aquest tipus de mètriques fuzzy, des del punt de vista matemàtic i de les seves aplicacions. En aquesta tesi hem contribuït al desenvolupament de l'estudi d'aquestes mètriques fuzzy, des del punt de vista matemàtic, i hem abordat el problema de la mesura de la diferència perceptiva de color utilitzant aquestes mètriques. Les contribucions que aportem en aquesta tesi a tal estudi es resumeixen a continuació: \begin{enumerate} \item[(i)] Hem fet un estudi detallat de l'espai mètric fuzzy $(X,M,\cdot)$ on $M$ està donada sobre $[0,\infty[$ per l'expressió $M(x,y,t)=\frac{\min\{x,y\}+t}{\max\{x,y\}+t}$ i d'altres espais mètrics fuzzy relacionats amb ell. Com a conseqüència d'aquest estudi hem introduït cinc qüestions en la teoria de les mètriques fuzzy relacionades amb continuïtat, extensió, contractividad i completació. \item[(ii)] Hem respost a una qüestió oberta construint un espai mètric fuzzy $(X, M, \ast)$ en el qual l'assignació $f (t) = \lim_n M (a_n, b_n, t)$, on $\{a_n\}$ i $\{b_n \}$ són successions $M$-Cauchy, no és una funció contínua sobre $t$. La resposta a aquesta qüestió ens ha permès caracteritzar la classe dels espais mètrics fuzzy strong completables. \item[(iii)] Hem introduït i estudiat un concepte més fort que el de convergència de successions en espais mètrics fuzzy, al qual hem anomenat $s$-Convergència. En el nostre estudi hem aconseguit una caracterització d'aquells espais mètrics fuzzy en els quals tota successió convergent és $s$-convergente i hem donat una classificació dels espais mètrics fuzzy atenent al seu comportament respecte als diferents tipus de convergència que es dóna en ell. \item[(iv)] Hem estudiat, en el context dels espais mètrics fuzzy, quan certes famílies de boles obertes centrades en un punt són base local d'aquest punt. \item[(v)] Hem respost a dues qüestions obertes relacionades amb la convergència estàndard, un concepte més fort que el de convergència de successions en espais mètrics fuzzy, introduït de forma natural a partir del concepte de successió de Cauchy estàndard (introduït en \cite{adomain}). Aquestes respostes ens han portat a establir unes condicions sota les quals un concepte relacionat amb el concepte de successió de Cauchy i un concepte relacionat amb el de convergència haurien de satisfer per a ser considerats \textsl{compatibles}. \item[(vi)] Com a aplicació pràctica, hem mostrat que una certa mètrica fuzzy és útil per mesurar la diferència perceptiva de color entre mostres de color. \end{enumerate}Miñana Prats, JJ. (2015). Fuzzy metric spaces and applications to perceptual colour-differences [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/50612TESISCompendi